Οι διαφορές - τι είναι αυτό; Πώς να βρείτε τη διαφορά της συνάρτησης;

Μαζί με τα παράγωγα καθήκοντά τους διαφορές - είναι μερικές από τις βασικές έννοιες του διαφορικού λογισμού, το κύριο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης. Όπως άρρηκτα συνδεδεμένες, και οι δύο από αυτούς αρκετούς αιώνες χρησιμοποιείται ευρέως στην επίλυση σχεδόν όλα τα προβλήματα που προέκυψαν κατά τη διάρκεια των επιστημονικών και τεχνικών δραστηριοτήτων.

Η εμφάνιση της έννοιας του διαφορικού

Για πρώτη φορά, κατέστησε σαφές ότι μια τέτοια διαφορά, ένας από τους ιδρυτές (μαζί με Isaakom Nyutonom) διαφορικού λογισμού διάσημος Γερμανός μαθηματικός Gotfrid Vilgelm Leybnits. Πριν από αυτό μαθηματικοί του 17ου αιώνα. χρησιμοποιούνται πολύ ασαφής και αόριστη ιδέα για κάποια απειροελάχιστη «αδιαίρετη» οποιασδήποτε γνωστής λειτουργίας, που αντιπροσωπεύουν ένα πολύ μικρό σταθερή αξία, αλλά δεν είναι ίση με το μηδέν, κάτω από το οποίο εκτιμά ότι η λειτουργία δεν μπορεί να είναι απλά. Ως εκ τούτου ήταν μόνο ένα βήμα από την εισαγωγή των εννοιών της απειροελάχιστη προσαυξήσεις των επιχειρημάτων λειτουργίας και τις αντίστοιχες αυξήσεις τους από τις λειτουργίες που μπορεί να εκφραστεί σε όρους παραγώγων του τελευταίου. Και αυτό το βήμα έγινε σχεδόν ταυτόχρονα τα δύο παραπάνω μεγάλους επιστήμονες.

Με βάση την ανάγκη για την αντιμετώπιση επειγουσών πρακτικών μηχανικών προβλημάτων που αντιμετωπίζει η επιστήμη ταχύτατα αναπτυσσόμενη βιομηχανία και την τεχνολογία, Newton και Leibniz δημιούργησε τους κοινούς τρόπους για την εξεύρεση των λειτουργιών του ρυθμού μεταβολής (ιδίως σε σχέση με τη μηχανική ταχύτητα του σώματος της γνωστής τροχιάς), η οποία οδήγησε στην εισαγωγή αυτών των εννοιών, ως συνάρτηση παραγώγου και του διαφορικού, και επίσης βρει το πρόβλημα λύσεις αλγόριθμος αντίστροφου όπως είναι γνωστό per se (μεταβλητή) ταχύτητα μετατοπίζεται για να βρει το μονοπάτι που οδήγησε στην έννοια της αναπόσπαστο Ala.

Στα έργα του Leibniz και Νεύτωνα ιδέα πρώτα φάνηκε ότι οι διαφορές - είναι ανάλογη με την αύξηση των βασικών επιχειρημάτων Δh αυξάνει τις λειτουργίες Δυ που μπορεί να εφαρμοστεί με επιτυχία για τον υπολογισμό της αξίας της τελευταίας. Με άλλα λόγια, αυτοί έχουν ανακαλύψει ότι μια λειτουργία προσαύξησης μπορεί να είναι σε οποιοδήποτε σημείο (εντός του τομέα του ορισμού) εκφράζεται μέσω της παραγώγου τόσο Δυ = y «(x) δΗ + αΔh όπου α Δh - υπόλοιπο, τείνοντας στο μηδέν ως Δh → 0, πολύ πιο γρήγορα από ό, τι το πραγματικό Δh.

Σύμφωνα με τους ιδρυτές της μαθηματικής ανάλυσης, οι διαφορές - αυτό είναι ακριβώς ο πρώτος όρος σε βήματα των οποιωνδήποτε λειτουργιών. Ακόμη και χωρίς να χρειάζεται αποτελούν σαφώς καθορισμένες αλληλουχίες ορίου έννοια κατανοητό διαισθητικά ότι η τιμή διαφοράς του παραγώγου τείνει να λειτουργεί όταν Δh → 0 - Δυ / Δh → y «(x).

Σε αντίθεση Newton, ο οποίος ήταν κατά κύριο λόγο ένας φυσικός και μαθηματική συσκευή θεωρείται ως ένα βοηθητικό εργαλείο για τη μελέτη των φυσικών προβλημάτων, Leibniz δοθεί περισσότερη προσοχή σε αυτό το πακέτο εργαλείων, συμπεριλαμβανομένου ενός συστήματος οπτικής και κατανοητών συμβόλων μαθηματική τιμές. Ήταν αυτός που πρότεινε την τυποποιημένη σημειογραφία των διαφορών λειτουργίας dy = y «(x) dx, dx, και το παράγωγο της συνάρτησης επιχείρημα σχέση τους y» (x) = dy / dx.

Ο σύγχρονος ορισμός

Ποια είναι η διαφορά από την άποψη των σύγχρονων μαθηματικών; Είναι στενά συνδεδεμένη με την έννοια της μεταβλητής αύξηση. Εάν η μεταβλητή y παίρνει μια πρώτη τιμή του y y = _1, τότε Υ = Υ _2, η διαφορά y ₂ ─ y ₁ καλείται η τιμή προσαύξησης y. Η αύξηση μπορεί να είναι θετική. αρνητικών και μηδενικών. Η λέξη «αύξηση» χαρακτηρίζεται Δ, Δυ εγγραφής (διαβάστε «y δέλτα») δηλώνει την τιμή της αύξησης y. έτσι Δυ = y ₂ ─ y _1.

Εάν η τιμή Δυ αυθαίρετη συνάρτηση y = f (x) μπορεί να αντιπροσωπεύεται ως Δυ = ΔΗ + α, όπου το Α δεν είναι εξάρτηση από Δh, t. Ε Α = const για τη δεδομένη x, και ο όρος α όταν Δh → 0 τείνει να είναι ακόμη πιο γρήγορα από ό, τι το πραγματικό Δh, τότε το πρώτο ( «master») ενός όρου αναλογική Δh, και είναι για y = f (x) απόκλιση, συμβολίζεται DY ή DF (x) (διαβάζεται "y de", "de eff από Χ"). Ως εκ τούτου περιθώρια Τα - ένα «κύριο» γραμμική σε σχέση με τα συστατικά των αυξήσεων Δh λειτουργιών.

μηχανική εξήγηση

Ας s = f (t) - την απόσταση σε ευθεία γραμμή κινείται υλικού σημείου από την αρχική θέση (t - χρόνος ταξιδιού). Αύξηση Δs - είναι το σημείο τρόπο κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος Δt, και οι διαφορικές ds = f «(t) Δt - αυτή η διαδρομή, η οποία θα διεξαχθεί σημείο για το ίδιο χρονικό διάστημα Δt, αν διατήρησε την ταχύτητα f» (t), που επιτεύχθηκε κατά το χρόνο t . Όταν ένα απειροελάχιστο Δt ds φανταστικό μονοπάτι διαφέρει από την πραγματική Δs απειροελάχιστα έχει μία υψηλότερης τάξης σε σχέση με Δt. Αν η ταχύτητα κατά τη χρονική στιγμή t δεν είναι ίσο με μηδέν, οι κατά προσέγγιση ds αξία δίνει μικρό σημείο προκατάληψη.

γεωμετρική ερμηνεία

Έστω η γραμμή L είναι η γραφική παράσταση της y = f (x). Στη συνέχεια, Δ x = MQ, Δυ = QM «(βλ. Το παρακάτω σχήμα). Εφαπτομένη MN σπάει Δυ κοπεί σε δύο μέρη, QN και NM». Πρώτο και Δh είναι ανάλογη QN = MQ ∙ tg (QMN γωνία) = Δh f «(x), t. Ε QN είναι dy απόκλιση.

Το δεύτερο μέρος της διαφοράς Δυ NM'daet ─ dy, όταν Δh μήκος → 0 NM «μειώνεται ακόμη ταχύτερα από την αύξηση του επιχειρήματος, δηλαδή έχει τη σειρά των μικρότητα υψηλότερη από Δh. Σε αυτή την περίπτωση, αν η f «(x) ≠ 0 (μη παράλληλες εφαπτομένη ΟΧ) τμήματα QM'i QN ισοδύναμο? με άλλα λόγια NM «μειώνεται γρήγορα (διάταξη του μικρού μεγέθους των υψηλότερων του) από τη συνολική αύξηση Δυ = QM». Αυτό είναι εμφανές στην Εικόνα (πλησιάζει τμήμα M'k Μ NM'sostavlyaet όλα μικρότερο ποσοστό QM «τμήμα).

Έτσι, γραφικά διαφορική αυθαίρετη λειτουργία είναι ίση με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης.

Παράγωγα και διαφορικό

Ένας παράγοντας για την πρώτη διάρκεια της λειτουργίας προσαύξησης έκφρασης είναι ίση με την αξία του παραγώγου f του «(x). Έτσι, η ακόλουθη σχέση - dy = f '(x) Δh ή DF (x) = f' (x) Δh.

Είναι γνωστό ότι η αύξηση της ανεξάρτητης επιχείρημα είναι ίση με διαφορά Δh = dx του. Κατά συνέπεια, μπορούμε να γράψουμε: f «(x) dx = dy.

Βρίσκοντας (μερικές φορές λέγεται ότι είναι η «απόφαση») διαφορές γίνεται από τους ίδιους κανόνες που ισχύουν για τα παράγωγα. Μια λίστα με τους δίνεται παρακάτω.

Ποια είναι η πιο καθολική: η αύξηση του επιχειρήματος ή απόκλιση της

Εδώ είναι απαραίτητο να κάνουμε κάποιες διευκρινίσεις. Αναπαράσταση τιμή f «(x) απόκλιση Δh δυνατόν κατά την εξέταση χ ως επιχείρημα. Όμως, η λειτουργία μπορεί να είναι ένα σύμπλοκο, στο οποίο το Χ μπορεί να είναι συνάρτηση του επιχειρήματος t. Στη συνέχεια, η αναπαράσταση της διαφορικής έκφρασης του f «(x) Δh, κατά κανόνα, είναι αδύνατο? εκτός από την περίπτωση της γραμμική εξάρτηση x = στο + b.

Όσον αφορά τον τύπο f «(x) dx = dy, στη συνέχεια, στην περίπτωση των ανεξάρτητων επιχείρημα x (τότε dx = Δh) στην περίπτωση της παραμετρικής εξάρτησης των χ t, είναι απόκλιση.

Για παράδειγμα, η έκφραση 2 χ Δh είναι για y = x ² απόκλιση της όταν το χ είναι ένα επιχείρημα. Τώρα x = t ² και να αναλάβει τ επιχείρημα. Στη συνέχεια, y = x ² = t ^4.

Αυτό ακολουθείται από (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Ως εκ τούτου Δh = 2tΔt + Δt ^2. Ως εκ τούτου: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Αυτή η έκφραση δεν είναι ανάλογη προς Δt, και ως εκ τούτου είναι τώρα 2xΔh δεν διαφορικό. Μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση y = x ² = t ^4. Είναι ίση dy = 4t ³ Δt.

Αν πάρουμε το 2xdx έκφραση, είναι η απόκλιση y = x ² για οποιοδήποτε επιχείρημα t. Πράγματι, όταν x = t ² ληφθεί dx = 2tΔt.

Έτσι 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. Ε Οι διαφορές έκφρασης που καταγράφονται από δύο διαφορετικές μεταβλητές συμπίπτουν.

Αντικατάσταση προσαυξήσεις διαφορές

Αν f «(x) ≠ 0, τότε Δυ και dy ισοδύναμα (όταν Δh → 0)? εάν f «(x) = 0 (έννοια και dy = 0), δεν είναι ισοδύναμες.

Για παράδειγμα, αν y = x ^2, στη συνέχεια, Δυ = (x + Δh) ² ─ χ ² = 2xΔh + Δh ² και dy = 2xΔh. Αν χ = 3, τότε έχουμε Δυ = 6Δh + Δh ² και dy = 6Δh που είναι ισοδύναμα οφείλονται Δh ² → 0, όταν x = 0 τιμή Δυ = Δh ² και dy = 0 δεν είναι ισοδύναμες.

Το γεγονός αυτό, σε συνδυασμό με την απλή δομή του διαφορικού (m. Ε Γραμμικότητα σε σχέση με Δh), χρησιμοποιείται συχνά σε κατά προσέγγιση υπολογισμό, με βάση την υπόθεση ότι dy Δυ ≈ για μικρές Δh. Βρείτε το διαφορικό λειτουργίας είναι συνήθως πιο εύκολο από το να υπολογίσει την ακριβή τιμή της αύξησης.

Για παράδειγμα, έχουμε μεταλλικό κύβο με ακμή χ = 10,00 εκ. Κατά τη θέρμανση το άκρο επιμηκύνεται σε Δh = 0,001 εκ. Πώς αυξημένο όγκο κύβου V; Έχουμε V = x ^2, έτσι ώστε dV = 3χ ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Φεβρουαρίου 0/01 = 3 (cm ^3). Αυξημένη ΔV ισοδύναμο απόκλιση dV, έτσι ώστε Δν = 3 ^cm3. Πλήρης υπολογισμός θα δώσει ³ ΔV = 10,01 ─ ^{10 Μάρτη} = 3,003001. Αλλά το αποτέλεσμα όλων των ψηφίων, εκτός από την πρώτη αναξιόπιστο? Ως εκ τούτου, εξακολουθεί να είναι αναγκαία η στρογγυλοποίηση έως 3 cm ^3.

Προφανώς, αυτή η προσέγγιση είναι χρήσιμη μόνο εάν είναι δυνατό να εκτιμηθεί η αξία που προσδίδεται με σφάλμα.

Διαφορική λειτουργία: παραδείγματα

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τη διαφορά της συνάρτησης y = x ^3, βρίσκοντας το παράγωγο. Ας δώσουμε το επιχείρημα αύξηση Δυ και να καθορίσει.

Δυ = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3χ ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Εδώ, ο συντελεστής Α = 3χ ² δεν εξαρτάται από Δh, έτσι ώστε ο πρώτος όρος είναι ανάλογη Δh, το άλλο μέλος 3xΔh Δh ² + ³ όταν Δh → 0 μειώνεται πιο γρήγορα από την αύξηση του επιχειρήματος. Κατά συνέπεια, ένα μέλος της 3x ² Δh είναι η απόκλιση του y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3χ ² dx ή d (x ³⁾ = 3χ ² dx.

Όπου το d (x ³⁾ / dx = 3χ ^2.

Dy Εμείς τώρα βρει η συνάρτηση y = 1 / x από το παράγωγο. Στη συνέχεια, d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Ως εκ τούτου dy = ─ Δh / x ^2.

Διαφορικά Οι βασικές αλγεβρικό λειτουργίες δίνονται παρακάτω.

Κατά προσέγγιση υπολογισμούς με τη χρήση διαφορικού

Για να αξιολογηθεί η συνάρτηση f (x), και του παραγώγου f «(x) στο x = a είναι συχνά δύσκολο, αλλά για να κάνουν το ίδιο στην περιοχή του x = a δεν είναι εύκολο. Στη συνέχεια έρχονται στην ενίσχυση της προσέγγιση έκφρασης

f (α + Δh) ≈ f «(α) δΗ + f (α).

Αυτό δίνει μια κατά προσέγγιση τιμή της συνάρτησης σε μικρές προσαυξήσεις μέσω απόκλιση της Δh f «(α) Δh.

Ως εκ τούτου, ο τύπος αυτός δίνει μια κατά προσέγγιση έκφραση για τη συνάρτηση στο τελικό σημείο ενός τμήματος ενός μήκους Δh ως άθροισμα της αξίας της στο σημείο εκκίνησης του τμήματος (x = a) και της διαφορικής στην ίδια αφετηρία. Ακρίβεια της μεθόδου για τον προσδιορισμό των τιμών της συνάρτησης κατωτέρω απεικονίζει το σχέδιο.

Ωστόσο είναι γνωστό και η ακριβής έκφραση για την τιμή της συνάρτησης x = a + Δh δίδεται από τον τύπο πεπερασμένο αυξήσεις (ή, εναλλακτικά, τον τύπο του Lagrange)

f (α + Δh) ≈ f «(ξ) δΗ + f (α),

όπου το σημείο x = a + ξ είναι στο διάστημα από x = a για x = a + Δh, αν και η ακριβής θέση του είναι άγνωστη. Ο ακριβής τύπος επιτρέπει να αξιολογηθεί το σφάλμα του κατά προσέγγιση τύπου. Αν βάλουμε στο Lagrange τύπο ξ = Δh / 2, αν και παύει να είναι ακριβή, αλλά δίνει, κατά κανόνα, μια πολύ καλύτερη προσέγγιση από την αρχική έκφραση από την άποψη του διαφορικού.

τύπους αξιολόγησης λάθος με την εφαρμογή διαφορικού

Όργανα μέτρησης , κατ 'αρχήν, ανακριβή, και να φέρει τα δεδομένα των μετρήσεων που αντιστοιχούν στο σφάλμα. Χαρακτηρίζονται από τον περιορισμό του απόλυτου σφάλματος, ή, εν ολίγοις, το όριο σφάλματος - θετική, σαφώς υπερβαίνει το σφάλμα σε απόλυτη τιμή (ή το πολύ ίση με αυτό). Περιορισμός Το σχετικό σφάλμα ονομάζεται το πηλίκο που λαμβάνεται από τη διαίρεση αυτή από την απόλυτη τιμή της μετρούμενης τιμής.

Ας ακριβής τύπος y = f (x) συνάρτηση χρησιμοποιείται για να vychislyaeniya y, αλλά η τιμή του χ είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης, και ως εκ τούτου φέρνει το σφάλμα y. Στη συνέχεια, για να βρει το περιοριστικό απόλυτο σφάλμα │Δu│funktsii y, χρησιμοποιώντας τον τύπο

│Δu│≈│dy│ = │ f «(x) ││Δh│,

όπου │Δh│yavlyaetsya επιχείρημα οριακή απόκλιση. │Δu│ ποσότητα πρέπει να στρογγυλοποιείται προς τα πάνω, όπως το ίδιο ανακριβής υπολογισμός είναι η αντικατάσταση της προσαύξησης στο διαφορικό υπολογισμό.