Γεωμετρική πρόοδος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ την απόφαση

Σκεφτείτε μια σειρά.

7 28 112 448 1792 ...

δείχνει ξεκάθαρα ότι η αξία οποιουδήποτε από τα στοιχεία του περισσότερο από τα προηγούμενα ακριβώς τέσσερις φορές. Έτσι, αυτή η σειρά είναι μια εξέλιξη.

γεωμετρική πρόοδο ονομάζεται άπειρη ακολουθία των αριθμών, το κύριο χαρακτηριστικό του οποίου είναι ότι ο ακόλουθος αριθμός λαμβάνεται από την παραπάνω πολλαπλασιάζοντας με κάποιο καθορισμένο αριθμό. Αυτό εκφράζεται από τον ακόλουθο τύπο.

_{α z +1 = a z · q} , όπου z - αριθμός του επιλεγμένου στοιχείου.

Κατά συνέπεια, z ∈ N.

Μια φορά, όταν το σχολείο σπούδασε γεωμετρική πρόοδο - 9η τάξη. Παραδείγματα θα βοηθήσει να κατανοήσουν την έννοια:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 Φεβρουαρίου ...

Με βάση αυτόν τον τύπο, η εξέλιξη του παρονομαστή μπορεί να βρεθεί ως εξής:

Ούτε q, ή β _Ζ δεν μπορεί να είναι μηδέν. Επίσης, καθένα από τα στοιχεία του μια σειρά αριθμών εξέλιξης δεν θα πρέπει να είναι μηδέν.

Κατά συνέπεια, για να δείτε τον επόμενο αριθμό ενός αριθμού, πολλαπλασιάστε το τελευταίο από q.

Για να ορίσετε αυτήν την εξέλιξη, πρέπει να καθορίσετε το πρώτο στοιχείο του και παρονομαστή. Μετά από αυτό, είναι δυνατό να βρείτε κάποιο από τα ακόλουθα μέλη και το ύψος τους.

είδος

Ανάλογα με το q και ένα _1, αυτό εξέλιξη χωρίζεται σε διάφορους τύπους:

• Εάν ένα _1, και το q είναι μεγαλύτερο από ένα, τότε μία αλληλουχία - αυξάνεται με κάθε διαδοχικό στοιχείο μιας γεωμετρικής προόδου. Παραδείγματα αυτών είναι αναλυτικά παρακάτω.

Παράδειγμα: α ₁ = 3, q = 2 - μεγαλύτερη από τη μονάδα, και οι δύο παράμετροι.

Στη συνέχεια, μια ακολουθία αριθμών μπορεί να γραφτεί ως:

3 6 12 24 48 ...

• Αν | q | λιγότερο από ένα, δηλαδή, είναι ισοδύναμη με τον πολλαπλασιασμό με διαίρεση, η εξέλιξη με παρόμοιες συνθήκες - φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Παραδείγματα αυτών είναι αναλυτικά παρακάτω.

Παράδειγμα: α ₁ = 6, q = 1/3 - α ₁ είναι μεγαλύτερο από ένα, το q - λιγότερο.

Στη συνέχεια, μια ακολουθία αριθμών μπορεί να γραφτεί ως εξής:

2 Ιουνίου 2/3 ... - οποιοδήποτε στοιχείο περισσότερα στοιχεία μετά από αυτήν, είναι 3 φορές.

• Εναλλασσόμενη. Αν q <0, τα σημάδια των αριθμών της ακολουθίας εναλλασσόμενης συνεχώς ανεξάρτητα από ένα _1, και τα στοιχεία της κάθε αύξησης ή μείωσης.

Παράδειγμα: α ₁ = -3, q = -2 - απέχουν λιγότερο από μηδέν.

Στη συνέχεια, μια ακολουθία αριθμών μπορεί να γραφτεί ως:

3, 6, -12, 24, ...

τύπος

Για άνετη χρήση, υπάρχουν πολλοί γεωμετρική πρόοδος των τύπων:

• Τύπου Ζ-th όρος. Αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό του στοιχείου σε ένα συγκεκριμένο αριθμό, χωρίς τον υπολογισμό των προηγούμενων αριθμών.

Παράδειγμα: q = 3, α = ₁ 4. απαιτούνται για τον υπολογισμό ενός τέταρτου εξέλιξη στοιχείο.

Λύση: α = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• Το άθροισμα των πρώτων στοιχείων, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με z. Αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό του αθροίσματος όλων των στοιχείων σε μια σειρά σε ένα _z χωρίς αποκλεισμούς.

≠ 0, έτσι, το q δεν είναι 1 - (q 1) Από (1- q) είναι στον παρονομαστή, τότε.

Σημείωση: εάν q = 1, τότε η εξέλιξη θα είχε αντιπροσώπευε μια σειρά από ατελείωτα επαναλαμβάνοντας τον αριθμό.

Ποσό εκθετικά παραδείγματα: α ₁ = 2, q = -2. Υπολογίστε S _5.

Λύση: S ₅ = 22 - τύπος υπολογισμού.

• Ποσό αν | q | <1 και όταν το ζ τείνει στο άπειρο.

Παράδειγμα: α ₁ = _2, q = 0.5. Βρείτε το άθροισμα.

Λύση: S _z = 2 χ = 4

Αν υπολογίσουμε το άθροισμα των πολλών μελών του εγχειριδίου, θα δείτε ότι είναι πράγματι δεσμευτεί για τέσσερις.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Μερικές ιδιότητες:

• Μια χαρακτηριστική ιδιότητα. Αν τον ακόλουθο όρο Κατέχει για κάθε z, τότε δίνεται μια αριθμητική σειρά - μια γεωμετρική πρόοδο:

α _z ² = A _{z -1} · Μια _{z + 1}

• Είναι επίσης το τετράγωνο του κάθε αριθμού είναι εκθετικά μέσω της προσθήκης των τετραγώνων των άλλων δύο αριθμούς σε κάθε δεδομένη σειρά, αν είναι σε ίση απόσταση από το στοιχείο.

² α _z = α _{z - t} ² ₊ α _z + _t ² όπου το t - η απόσταση μεταξύ αυτών των αριθμών.

• Τα στοιχεία διαφέρουν από φορές q.
• Οι λογάριθμοι των στοιχείων της προόδου καθώς σχηματίζουν μια πρόοδο, αλλά ο αριθμητικός, ότι είναι, το καθένα από αυτά περισσότερο από το προηγούμενο κατά ένα ορισμένο αριθμό.

Παραδείγματα μερικών κλασικά προβλήματα

Για να καταλάβετε καλύτερα τι μια γεωμετρική πρόοδο, με τα παραδείγματα απόφαση για το βαθμό 9 μπορεί να βοηθήσει.

• Όροι και προϋποθέσεις: α ₁ = 3, α ₃ = 48. Βρες q.

Λύση: κάθε διαδοχικό στοιχείο σε περισσότερες από το προηγούμενο q το χρόνο. Είναι αναγκαίο να εκφράσει κάποια στοιχεία μέσω άλλων μέσω παρονομαστή.

Κατά συνέπεια, ένα ₃ = q ² · α ₁

Όταν υποκαθιστώντας q = 4

• Προϋποθέσεις: α ₂ = 6, α = ₃ 12. Υπολογίστε S _6.

Λύση: Για να γίνει αυτό, αρκεί να βρει q, το πρώτο στοιχείο και υποκατάστατο στον τύπο.

ένα ₃ = q · α _2, κατά συνέπεια, q = 2

α ₂ = q · Α _1, οπότε α = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Βρείτε το τέταρτο στοιχείο της εξέλιξης.

Λύση: είναι αρκετό για να εκφράσει το τέταρτο στοιχείο μέσα από το πρώτο και μέσω του παρονομαστή.

₄ α ³ = q · a = ₁ -80

Παράδειγμα εφαρμογής:

• Τράπεζα πελάτης έχει συνεισφέρει το ποσό των 10.000 ρούβλια, σύμφωνα με το οποίο κάθε χρόνο ο πελάτης με το κύριο ποσό θα προστεθεί 6% από αυτό όμως. Πόσα χρήματα έχει στο λογαριασμό μετά από 4 χρόνια;

Λύση: Το αρχικό ποσό ίσο με 10 χιλιάδες ρούβλια. Έτσι, ένα χρόνο μετά τις επενδύσεις του λογαριασμού θα είναι το ποσό ίσο με 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Κατά συνέπεια, το ποσό στο λογαριασμό ακόμη και μετά από ένα χρόνο θα εκφραστεί ως εξής:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Δηλαδή, κάθε χρόνο το ποσό αυξήθηκε σε 1,06 φορές. Ως εκ τούτου, για να βρείτε τον αριθμό του λογαριασμού μετά από 4 χρόνια, αρκεί να βρείτε ένα τέταρτο εξέλιξη στοιχείο, το οποίο δίνεται πρώτο στοιχείο ίσο με 10 χιλιάδες, και τον παρονομαστή ίσο με 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Παραδείγματα προβλημάτων στον υπολογισμό του αθροίσματος των:

Σε διάφορα προβλήματα χρησιμοποιώντας γεωμετρική πρόοδο. Ένα παράδειγμα εύρεσης το άθροισμα μπορεί να οριστεί ως εξής:

α ₁ = 4, q = 2, υπολογίζει S _5.

Λύση: όλα τα απαραίτητα στοιχεία για τον υπολογισμό είναι γνωστά, απλά αντικαθιστούν στον τύπο.

S ₅ = 124

• α ₂ = 6, α = ₃ 18. Υπολογίστε το άθροισμα των πρώτων έξι στοιχεία.

λύση:

Η Geom. η πρόοδος του κάθε στοιχείου του επόμενου μεγαλύτερη από τις προηγούμενες φορές q, δηλαδή, για τον υπολογισμό του ποσού που πρέπει να γνωρίζετε το στοιχείο α ₁ και παρονομαστή q.

α ₂ · q = α ₃

q = 3

Ομοίως, η ανάγκη να βρεθεί μια _1, το ₂ και γνωρίζοντας q.

το ₁ · q = α ₂

α ₁ = 2

Και τότε αρκεί να υποκαταστήσει τα γνωστά δεδομένα στο ποσό τύπο.

S ₆ = 728.