Maclaurin και την αποσύνθεση ορισμένων λειτουργιών

Η μελέτη προηγμένων μαθηματικών θα πρέπει να γνωρίζουν ότι το άθροισμα μιας σειράς δυνάμεων στο διάστημα της σύγκλισης μιας σειράς από εμάς, είναι μια συνεχής και απεριόριστο αριθμό των φορών που ένα διαφοροποιημένο λειτουργία. Τίθεται το ερώτημα: είναι δυνατόν να υποστηριχθεί ότι δίνεται μια αυθαίρετη συνάρτηση f (x) - είναι το άθροισμα μιας σειράς δυνάμεων; Δηλαδή, κάτω από ποιες συνθήκες το f-σεις f (x) μπορεί να αντιπροσωπεύεται από μια σειρά δύναμης; Η σημασία αυτού του ζητήματος είναι ότι είναι δυνατή η αντικατάσταση περίπου £ Θεολογική f (x) είναι το άθροισμα των πρώτων όρων μιας σειράς δυνάμεων, ότι είναι ένα πολυώνυμο. Μια τέτοια λειτουργία αντικατάστασης είναι πολύ απλή έκφραση - πολυώνυμο - είναι βολικό και για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων στη μαθηματική ανάλυση, δηλαδή στην επίλυση ολοκληρωμάτων κατά τον υπολογισμό των διαφορικών εξισώσεων , κλπ ...

Είναι αποδεδειγμένο, ότι για κάποιο f-ii f (x), όπου τα παράγωγα του (n + 1) -οστό παραγγελία μπορεί να υπολογιστεί, συμπεριλαμβανομένων των τελευταίων στην περιοχή του (α - R? x ₀ + R) ενός σημείου x = α εύλογη τύπος είναι:

Ο τύπος αυτός έχει πάρει το όνομά του από το διάσημο επιστήμονα Μπρουκ Τέιλορ. Ένας αριθμός που προέρχεται από την προηγούμενη, ονομάζεται μια σειρά Maclaurin:

Ένας κανόνας που καθιστά δυνατή την παραγωγή επέκταση σε μια σειρά Maclaurin:

1. Καθορίστε παράγωγα της πρώτης, δεύτερης, τρίτης, ... τάξης.
2. Υπολογίστε τι είναι παράγωγα στο x = 0.
3. Καταγράψτε Maclaurin σειρά για αυτή τη λειτουργία, και στη συνέχεια για να προσδιοριστεί το διάστημα της σύγκλισης.
4. Καθορίστε διάστημα (-R? Κ), όπου το απομένον μέρος του τύπου Maclaurin

R _n (x) -> 0 για n -> άπειρο. Αν υπάρχει, είναι συνάρτηση f (x) πρέπει να είναι ίση με το άθροισμα της σειράς Maclaurin.

Σκεφτείτε τώρα την σειρά Maclaurin για τις επιμέρους λειτουργίες.

1. Έτσι, το πρώτο που πρέπει να f (x) = e ^x. Φυσικά, ότι τα χαρακτηριστικά τους, ώστε f-Ια έχει προερχόμενο μια ποικιλία των παραγγελιών, και f ^{(k) (x)} = e ^χ, όπου το k είναι ίση με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Αναπληρωτής x = 0. Έχουμε λάβει f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Με βάση τα προηγούμενα, μια σειρά από e ^x Αυτό θα έχει ως εξής:

2. σειρά Maclaurin για τη συνάρτηση f (x) = sin x. Αμέσως προσδιορίζει ότι το F-σεις για όλες τις άγνωστες παράγωγα θα έχουν, εκτός από f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' «(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), όπου το k είναι ίσο προς κάθε θετικό ακέραιο. Δηλαδή, κάνει απλούς υπολογισμούς, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά για την f (x) = sin x θα είναι κάπως έτσι:

3. Τώρα ας εξετάσουμε IJU f-f (x) = cos x. Είναι άγνωστο για όλα τα παράγωγα των αυθαίρετη σειρά, και ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Και πάλι, έχοντας κάνει μερικούς υπολογισμούς, διαπιστώνουμε ότι η σειρά για την f (x) = cos x θα είναι κάπως έτσι:

Έτσι, παραθέτουμε τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά που μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Maclaurin, αλλά συμπληρώνουν τη σειρά Taylor για ορισμένες λειτουργίες. Τώρα θα τα απαριθμήσω, καθώς και. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η Τέιλορ σειρές και σειρές Maclaurin είναι ένα σημαντικό μέρος της σειράς εργαστήριο των αποφάσεων σε ανώτερα μαθηματικά. Έτσι, Taylor σειρά.

1. Η πρώτη είναι μια σειρά από f-ii f (x) = ln (1 + χ). Όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα, για αυτό έχουμε f (x) = ln (1 + χ) μπορεί να διπλωθεί έναν αριθμό, χρησιμοποιώντας τη γενική μορφή της σειράς Maclaurin. αλλά για αυτό το χαρακτηριστικό Maclaurin μπορεί να επιτευχθεί πολύ πιο εύκολα. Η ενσωμάτωση ενός γεωμετρική σειρά, παίρνουμε έναν αριθμό για f (x) = ln (1 + χ) του δείγματος:

2. Και το δεύτερο, το οποίο θα είναι οριστική σε αυτό το άρθρο, θα είναι μια σειρά για την f (x) = x arctg. Για x ανήκει στο διάστημα [-1? 1] είναι έγκυρη αποσύνθεσης:

Αυτό είναι όλο. Σε αυτό το άρθρο έχω ερευνήσει την πλέον χρησιμοποιούμενη σειρά Taylor και Maclaurin σειρά σε ανώτερα μαθηματικά, ιδιαίτερα στον οικονομικό και τεχνικές σχολές.