Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Ομογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Στο σχολείο, ο καθένας από εμάς μελέτησε την εξίσωση και, βεβαίως, το σύστημα των εξισώσεων. Αλλά πολλοί άνθρωποι δεν γνωρίζουν ότι υπάρχουν διάφοροι τρόποι για την επίλυσή τους. Σήμερα θα δούμε ακριβώς όλες τις μεθόδους για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, οι οποίες αποτελούνται από περισσότερα από δύο εξισώσεις.

ιστορία

Σήμερα γνωρίζουμε ότι η τέχνη της επίλυσης εξισώσεων και συστημάτων τους προέρχεται από την αρχαία Βαβυλώνα και την Αίγυπτο. Ωστόσο, η ισότητα στην οικεία μορφή τους φαίνεται να μας μετά από την εμφάνιση του ίσον «=», το οποίο εισήχθη το 1556 από το αγγλικό αρχείο μαθηματικός. Με την ευκαιρία, αυτό το σύμβολο επιλέχθηκε για έναν λόγο: αυτό σημαίνει δύο παράλληλες ίσα τμήματα. Πράγματι, το καλύτερο παράδειγμα της ισότητας δεν καταλήξει.

Ο ιδρυτής της σύγχρονης γράμματα και σύμβολα άγνωστης έκτασης, ο Γάλλος μαθηματικός Fransua Viet. Ωστόσο, ο χαρακτηρισμός του είναι σημαντικά διαφορετική από τη σημερινή. Για παράδειγμα, ένα τετράγωνο από έναν άγνωστο αριθμό που ορίζεται από το γράμμα Q (λατ «quadratus».), Και τον κύβο - (. Λατ «CUBUS») το γράμμα C. Αυτά τα σύμβολα τώρα φαίνεται άβολα, αλλά στη συνέχεια ήταν το πιο έξυπνο τρόπο για να γράψει ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Ωστόσο, ένα μειονέκτημα στις επικρατούσες μεθόδους διαλύματος ήταν ότι μαθηματικοί έχουν εξετάσει μόνο οι θετικές ρίζες. Ίσως αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι αρνητικές τιμές δεν έχουν καμία πρακτική εφαρμογή. Ένα ή τον άλλο τρόπο, αλλά το πρώτο που πρέπει να θεωρείται αρνητική ρίζες ξεκίνησε μετά τις ιταλικές μαθηματικά Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano και Raphael Bombelli τον 16ο αιώνα. Μια σύγχρονη ματιά, η κύρια μέθοδος για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων (μέσω διακρίνουσας) ιδρύθηκε μόλις τον 17ο αιώνα μέσα από τα έργα του Καρτέσιου και του Νεύτωνα.

Στα μέσα του 18ου αιώνα, Ελβετός μαθηματικός Gabriel Cramer βρήκε ένα νέο τρόπο για να κάνουν τη λύση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων ευκολότερη. Αυτή η μέθοδος αργότερα το όνομά του, και σε αυτήν την ημέρα που το χρησιμοποιούν. Αλλά από την μέθοδο της ομιλίας Kramer του λίγο αργότερα, αλλά προς το παρόν θα συζητήσουμε γραμμικές εξισώσεις και τις λύσεις τους ξεχωριστά από το σύστημα.

γραμμικές εξισώσεις

Γραμμικές εξισώσεις - ο απλούστερος εξίσωση με μεταβλητή (ες). Ανήκουν στην αλγεβρική. Γραμμικών εξισώσεων γραμμένο στη γενική μορφή ως εξής: α ₁ * x ₁ + α _{2 *} x ₂ + ... και _n * x _n = b. Υποβολή του εντύπου αυτού θα πρέπει κατά την προετοιμασία των συστημάτων και των πινάκων για.

Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ο ορισμός του όρου αυτού είναι: ένα σύνολο εξισώσεων που έχουν κοινά αγνώστους και τη γενική λύση. Τυπικά, στο σχολείο όλα λυθεί ένα σύστημα με δύο ή ακόμη και τρεις εξισώσεις. Αλλά υπάρχουν συστήματα με τέσσερα ή περισσότερα συστατικά. Ας δούμε πρώτα πώς να τα γράψω, έτσι ώστε αργότερα ήταν βολικό να λύσει. Πρώτον, το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων θα φανεί καλύτερα αν όλες οι μεταβλητές γράφεται ως x με τον αντίστοιχο δείκτη: 1,2,3 και ούτω καθεξής. Δεύτερον, θα πρέπει να οδηγήσει όλες τις εξισώσεις με την κανονική μορφή: α ₁ * x ₁ + α _{2 *} x ₂ + ... και _n * x _n = b.

Μετά από όλα αυτά τα βήματα, μπορούμε να αρχίσουμε να σας πω πώς να βρείτε τη λύση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Πάρα πολύ γι 'αυτό θα έρθει σε πρακτικό μήτρα.

μήτρα

Matrix - ένας πίνακας που αποτελείται από γραμμές και στήλες, και τα στοιχεία του είναι στη διασταύρωση τους. Αυτό μπορεί να είναι είτε μια συγκεκριμένη τιμή ή μεταβλητή. Στις περισσότερες περιπτώσεις, να ορίσει στοιχεία που είναι διατεταγμένα κάτω από τα δείκτες (π.χ., ένα ₁₁ ή ₂₃ φρεάτιο). Ο πρώτος δείκτης δείχνει τον αριθμό σειράς, και η δεύτερη - τη στήλη. Πάνω από μήτρες όπως παραπάνω και κάθε άλλο μαθηματικό στοιχείο μπορεί να εκτελέσει διάφορες λειτουργίες. Έτσι, μπορείτε να κάνετε:

1) Αφαιρείται και προσθέστε το ίδιο μέγεθος του πίνακα.

2) Πολλαπλασιασμός του πίνακα σε οποιοδήποτε αριθμό ή φορέα.

3) Να μεταφερθεί: μετασχηματίσει γραμμές μήτρας στις στήλες, και οι στήλες - στη γραμμή.

4) Πολλαπλασιασμός του πλέγματος, εάν ο αριθμός των σειρών είναι ίση με το ένα από αυτά ένα διαφορετικό αριθμό στηλών.

Για να συζητήσουμε λεπτομερώς όλες αυτές τις τεχνικές, όπως αυτές είναι χρήσιμες για μας στο μέλλον. Αφαίρεσης και πρόσθεσης των μητρών είναι πολύ απλή. Από τη στιγμή που λάβει την ίδια μήτρα μεγέθους, κάθε στοιχείο του ένα τραπέζι είναι συνδεδεμένα σε κάθε άλλο στοιχείο. Έτσι προσθέτουμε (αφαιρέσουμε) δύο από τα στοιχεία (είναι σημαντικό ότι στέκονταν στο ίδιο έδαφος σε μήτρες τους). Όταν πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό των μήτρας ή φορέως απλά πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο της μήτρας από το εν λόγω αριθμό (ή φορέα). Μεταφορά - μια πολύ ενδιαφέρουσα διαδικασία. Πολύ ενδιαφέρον μερικές φορές για να τον δει στην πραγματική ζωή, για παράδειγμα, όταν αλλάζετε τον προσανατολισμό ενός δισκίου ή τηλεφώνου. Τα εικονίδια στην επιφάνεια εργασίας είναι μια μήτρα, και με την αλλαγή της θέσης, που μεταφέρεται και γίνεται ευρύτερη, αλλά μειώνεται σε ύψος.

Ας εξετάσουμε πιο μια διαδικασία όπως πολλαπλασιασμός πινάκων. Αν και ο ίδιος μας είπε, και δεν είναι χρήσιμο, αλλά να γνωρίζει εξακολουθεί να είναι χρήσιμη. Πολλαπλασιασμός δύο μήτρες μπορεί να είναι μόνο υπό την προϋπόθεση ότι ο αριθμός των στηλών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών άλλων. Τώρα πάρτε στοιχεία μιας γραμμής μήτρας και άλλα στοιχεία της αντίστοιχης στήλης. Πολλαπλασιάστε τους ο ένας στον άλλο και στη συνέχεια αθροίσματος (δηλ, για παράδειγμα, ένα προϊόν των στοιχείων ₁₁ και ₁₂ και στους ₁₂ β και ₂₂ b θα είναι ίση με: a * b _{11 12} + ₁₂ * β και _22). Έτσι, ένα μεμονωμένο στοιχείο τραπέζι, και μια μέθοδο παρόμοια με αυτή γεμίζεται περαιτέρω.

Τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να εξετάσουν πώς να λύσει τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Gauss

Αυτό το θέμα άρχισε να λαμβάνει χώρα στο σχολείο. Γνωρίζουμε πολύ καλά την έννοια του «συστήματος των δύο γραμμικών εξισώσεων» και ξέρουν πώς να τα λύσει. Τι γίνεται όμως όταν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μεγαλύτερο από τα δύο; Αυτό θα μας βοηθήσει μέθοδο Gauss.

Φυσικά, αυτή η μέθοδος είναι εύκολη στη χρήση, αν κάνετε μια μήτρα του συστήματος. Αλλά δεν μπορείτε να το μετατρέψετε και να αποφασίσει από μόνη της.

Έτσι, πώς να το λύσει με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων Gauss; Με την ευκαιρία, έστω και αν αυτή τη μέθοδο και το όνομά του, αλλά ανακάλυψε ότι στην αρχαιότητα. Gauss έχει μια λειτουργία εκτελείται με τις εξισώσεις, να οδηγήσει τελικά στην ολότητα στη φόρμα κλιμάκιο. Δηλαδή, θα πρέπει να το top-down (αν τοποθετήσετε σωστά) από την πρώτη μέχρι την τελευταία εξίσωση εξασθένισε ένα άγνωστο. Με άλλα λόγια, θα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι έχουμε, ας πούμε, τρεις εξισώσεις: το πρώτο - τρεις αγνώστους, κατά το δεύτερο - δύο στην τρίτη - ένα. Στη συνέχεια, από την τελευταία εξίσωση, βρίσκουμε το πρώτο άγνωστο, να υποκαταστήσει την αξία του στη δεύτερη ή την πρώτη εξίσωση, και την περαιτέρω βρείτε τα υπόλοιπα δύο μεταβλητές.

τον κανόνα του Cramer

Για την ανάπτυξη αυτής της τεχνικής είναι ζωτικής σημασίας να αποκτήσουν τις δεξιότητες των πρόσθεση, αφαίρεση των πινάκων, καθώς και την ανάγκη να είναι σε θέση να βρει τους καθοριστικούς παράγοντες. Επομένως, εάν δεν αισθάνεστε άνετα να κάνει αυτό το σύνολο ή δεν ξέρουν πώς, είναι απαραίτητο να μάθουν και να εκπαιδευτεί.

Ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου, και πώς να το κάνει, να πάρει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων Cramer; Είναι πολύ απλό. Πρέπει να οικοδομήσουμε ένα πλέγμα των αριθμών (σχεδόν πάντα) τους συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Για να το κάνετε αυτό, απλά να πάρει τον αριθμό του αγνώστου, και να οργανώσει έναν πίνακα με τη σειρά που έχουν καταγραφεί στο σύστημα. Αν πριν ο αριθμός είναι ένα σημάδι «-», τότε γράφουμε αρνητικό συντελεστή. Έτσι, έκανε την πρώτη της μήτρας των συντελεστών των αγνώστων, μη συμπεριλαμβανομένου του αριθμού μετά το ίσον (φυσικά, ότι η εξίσωση πρέπει να μειωθεί σε κανονική μορφή, όταν η δεξιά είναι απλά ένας αριθμός, και η αριστερά - όλες οι άγνωστοι με συντελεστές). Στη συνέχεια θα πρέπει να κάνετε μερικές μήτρες - ένα για κάθε μεταβλητή. Για το σκοπό αυτό, στην πρώτη μήτρα αντικαθίσταται από μια στήλη καθένα αριθμούς στήλη με τους συντελεστές μετά την ίσον. Έτσι έχουμε μερικές μήτρες και στη συνέχεια να βρει τους καθοριστικούς παράγοντες τους.

Μετά βρήκαμε τα προκριματικά, είναι μικρή. Έχουμε μια αρχική μήτρα, και υπάρχουν πολλά προέρχονται μήτρες, που αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεταβλητές. Για να πάρετε μια λύση συστήματος, διαιρούμε την ορίζουσα του πίνακα του αποτελέσματος στην κύρια ορίζουσα του πίνακα. Ο προκύπτων αριθμός είναι η τιμή μιας μεταβλητής. Ομοίως, θα βρείτε όλες τις άγνωστοι.

άλλες μέθοδοι

Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για να ληφθεί το διάλυμα των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, το λεγόμενο μέθοδος Gauss-Jordan, το οποίο χρησιμοποιείται για την εύρεση λύσεων του συστήματος της τετραγωνική εξισώσεις, και επίσης σχετίζεται με τη χρήση των μητρών. Υπάρχει επίσης μια μέθοδος Jacobi για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Δε δυσκολεύτηκε να προσαρμόζεται σε όλους τους υπολογιστές και χρησιμοποιείται στον υπολογισμό.

περίπλοκες περιπτώσεις

Η πολυπλοκότητα που συνήθως συμβαίνει όταν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των μεταβλητών. Στη συνέχεια, μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι, είτε το σύστημα είναι ασυνεπής (δηλαδή, δεν έχει ρίζες), ή τον αριθμό των αποφάσεων του τείνει στο άπειρο. Αν έχουμε την δεύτερη περίπτωση - είναι απαραίτητο να γράψει τη γενική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων. Θα περιλαμβάνει τουλάχιστον μία μεταβλητή.

συμπέρασμα

Εδώ ερχόμαστε στο τέλος. Για να συνοψίσουμε: πρέπει να καταλάβουμε ποια είναι η μήτρα του συστήματος, έμαθε να βρείτε τη γενική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων. Επιπλέον θα εξεταστούν και άλλες επιλογές. Έχουμε βρει τον τρόπο να λύσει τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων: απαλοιφή Gauss και τον κανόνα του Cramer. Μιλήσαμε για δύσκολες περιπτώσεις και άλλους τρόπους για την εξεύρεση λύσεων.

Στην πραγματικότητα, αυτό το ζήτημα είναι πολύ πιο εκτεταμένη, και αν θέλετε να το καταλάβετε καλύτερα, σας συμβουλεύουμε να διαβάσετε περισσότερα από την εξειδικευμένη βιβλιογραφία.