Γραμμική και ομοιογενή διαφορική εξίσωση της πρώτης τάξης. παραδείγματα των λύσεων

Νομίζω ότι θα πρέπει να αρχίσουμε με την ιστορία της ένδοξης μαθηματικό εργαλείο, όπως διαφορικές εξισώσεις. Όπως όλα τα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, αυτές οι εξισώσεις εφευρέθηκαν από τον Νεύτωνα στα τέλη του 17ου αιώνα. Πίστευε ότι ήταν η ανακάλυψη του τόσο σημαντικό το γεγονός ότι ακόμη και το κρυπτογραφημένο μήνυμα, το οποίο σήμερα μπορεί να μεταφραστεί ως εξής: «Όλοι τους νόμους της φύσης περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις» Μπορεί να φαίνεται υπερβολή, αλλά είναι αλήθεια. Κάθε νόμος της φυσικής, της χημείας, της βιολογίας, μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις αυτές.

Μια τεράστια συμβολή στην ανάπτυξη και τη δημιουργία της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων έχουν τα μαθηματικά του Euler και Lagrange. Ήδη από τον 18ο αιώνα που ανακαλύφθηκε και αναπτύχθηκε αυτό που σήμερα φοιτούν σε ανώτερα πανεπιστημιακά μαθήματα.

Ένα νέο ορόσημο στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων άρχισε χάρη στην Ανρί Puankare. Δημιούργησε μια «ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων», η οποία, σε συνδυασμό με τη θεωρία των λειτουργιών των σύνθετων μεταβλητών συνέβαλε σημαντικά στην ίδρυση της τοπολογίας - την επιστήμη του διαστήματος και τις ιδιότητές του.

Ποιες είναι οι διαφορικές εξισώσεις;

Πολλοί άνθρωποι φοβούνται τη φράση «διαφορική εξίσωση». Ωστόσο, σε αυτό το άρθρο θα καθορίζονται λεπτομερώς την ουσία αυτής της πολύ χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, το οποίο στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο περίπλοκο όσο φαίνεται από τον τίτλο. Για να αρχίσουμε να μιλάμε για μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, θα πρέπει πρώτα να εξοικειωθούν με τις βασικές έννοιες που είναι εγγενώς συνδέονται με αυτόν τον ορισμό. Και θα ξεκινήσω με το διαφορικό.

διαφορικό

Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν τον όρο αυτό από το γυμνάσιο. Ωστόσο, εξακολουθούν να επεκταθώ σε αυτό με λεπτομέρειες. Φανταστείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Μπορούμε να το αυξήσει σε τέτοιο βαθμό που οποιαδήποτε από τμήμα της γίνεται μια ευθεία γραμμή. Θα πάρει δύο σημεία που είναι απείρως κοντά ο ένας στον άλλο. Η διαφορά μεταξύ συντεταγμένες τους (Χ ή Υ) είναι απειροελάχιστη. Και αυτό ονομάζεται διαφορικό και χαρακτήρες ορίσει dy (απόκλιση της y) και dx (η διαφορά του x). Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η διαφορά δεν είναι η απόλυτη αξία, και αυτή είναι η έννοια και η κύρια λειτουργία.

Και τώρα πρέπει να λάβετε υπόψη τα ακόλουθα στοιχεία, τα οποία θα πρέπει να εξηγήσει την έννοια διαφορική εξίσωση. Είναι - παράγωγο.

παραγωγό

Όλοι μας πρέπει να έχετε ακούσει στο σχολείο και αυτή την ιδέα. Λένε ότι το παράγωγο - είναι ο ρυθμός αύξησης ή μείωσης της συνάρτησης. Ωστόσο, ο ορισμός αυτός γίνεται όλο και πιο συγκεχυμένη. Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε τα παράγωγα τους όρους των διαφορών. Ας πάμε πίσω στο απειροελάχιστο διάστημα λειτουργίας με δύο σημεία, τα οποία βρίσκονται σε ελάχιστη απόσταση το ένα από το άλλο. Αλλά ακόμα και πέρα από αυτή τη λειτουργία εξ αποστάσεως είναι καιρός να αλλάξετε κάποια τιμή. Και για να περιγράψει αυτή την αλλαγή και να καταλήξουμε σε ένα παράγωγο που θα μπορούσαν αλλιώς να γραφτεί ως ο λόγος των διαφορών: f (x) «= df / dx.

Τώρα είναι αναγκαίο να εξεταστούν οι βασικές ιδιότητες του παραγώγου. Υπάρχουν μόνο τρεις:

1. Παράγωγα άθροισμα ή η διαφορά μπορεί να παρασταθεί ως το άθροισμα ή τη διαφορά των παραγώγων: (α + β) «= Α» + b «και (αβ)» = Α'-b».
2. Η δεύτερη ιδιότητα είναι συνδεδεμένη με πολλαπλασιασμό. Παράγωγα έργα - είναι το άθροισμα των έργων μία λειτουργία σε άλλο παράγωγο: (α * β) «= Α» * β + α * b».
3. Το παράγωγο της διαφοράς μπορεί να γραφτεί ως την ακόλουθη εξίσωση: (α / β) «= (α» * βα * β «) / b ^2.

Όλα αυτά τα χαρακτηριστικά να έρθει σε πρακτικό για την εξεύρεση λύσεων στις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Επίσης, υπάρχουν μερικές παραγώγους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση του z, η οποία εξαρτάται από τις μεταβλητές x και y. Για τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου αυτής της λειτουργίας, για παράδειγμα, σε χ, πρέπει να λάβουμε τη μεταβλητή y για συνεχή και εύκολο να διαφοροποιηθούν.

ολοκλήρωμα

Μια άλλη σημαντική έννοια - αναπόσπαστο. Στην πραγματικότητα είναι το αντίθετο της παραγώγου. Ολοκληρώματα είναι διαφόρων τύπων, αλλά οι απλούστερες λύσεις των διαφορικών εξισώσεων, χρειαζόμαστε τα πιο ασήμαντα αόριστο ολοκλήρωμα.

Έτσι, αυτό είναι το ολοκλήρωμα; Ας πούμε ότι έχουμε κάποια σχέση f του x. Παίρνουμε από αυτό το ολοκλήρωμα και να αποκτήσει μια συνάρτηση F (x) (συχνά αναφέρεται ως ένα πρωτόγονο), το οποίο είναι ένα παράγωγο του αρχικού λειτουργίας. Επομένως F (x) «= f (x). Αυτό συνεπάγεται επίσης ότι το ολοκλήρωμα της παραγώγου είναι ίση με την αρχική λειτουργία.

Στην επίλυση των διαφορικών εξισώσεων είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουν την έννοια και τη λειτουργία του ολοκληρωμένου, δεδομένου ότι πολύ συχνά πρέπει να τα πάρει για να βρούμε λύσεις.

Οι εξισώσεις διαφέρουν ανάλογα με τη φύση τους. Στην επόμενη ενότητα θα εξετάσουμε τύπους διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, και στη συνέχεια να μάθουν πώς να τα λύσει.

Μαθήματα των διαφορικών εξισώσεων

«Diffury» διαιρείται με τη σειρά των παραγώγων που συμμετέχουν σε αυτές. Έτσι υπάρχει μία πρώτη, δεύτερη, τρίτη ή περισσότερες παραγγελία. Μπορούν επίσης να χωριστούν σε διάφορες κατηγορίες: συνήθων και μερικών.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Τα παραδείγματα και οι λύσεις θα συζητήσουμε στις επόμενες ενότητες. Θεωρούμε ότι μόνο το TAC επειδή είναι οι πιο κοινοί τύποι των εξισώσεων. Τακτική διαιρείται σε υποείδη: με αποσπώμενα μεταβλητές, ομογενή και ετερογενή. Στη συνέχεια θα μάθετε πώς διαφέρουν το ένα από το άλλο, και να μάθουν πώς να τα λύσει.

Επιπλέον, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να συνδυαστούν, έτσι ώστε μετά έχουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Τα συστήματα αυτά, μπορούμε επίσης να δούμε και να μάθουν πώς να λύσει.

Γιατί εξετάζουμε μόνο την πρώτη παραγγελία; Επειδή είναι απαραίτητο να ξεκινήσουμε με μια απλή και περιγράφει όλες τις συνδεδεμένες με διαφορικές εξισώσεις, σε ένα μόνο άρθρο είναι αδύνατο.

Εξισώσεις με αποσπώμενα μεταβλητές

Αυτό είναι ίσως το πιο απλό διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Αυτά είναι παραδείγματα που μπορεί να γραφεί ως: y «= f (x) * f (y). Για την επίλυση αυτού εξίσωση χρειαζόμαστε τον τύπο αναπαράσταση του παραγώγου ως ο λόγος των διαφορών: y «= dy / dx. Με αυτό παίρνουμε την εξίσωση: dy / dx = f (x) * f (y). Τώρα μπορούμε να στραφούν προς τη μέθοδο επίλυσης πρότυπο παραδείγματα: ο διαχωρισμός των μεταβλητών σε μέρη, δηλαδή προς τα εμπρός όλη τη μεταβλητή y στο τμήμα όπου υπάρχει dy, αλλά και να κάνει τη μεταβλητή x ... Έχουμε λάβει μια εξίσωση της μορφής: DY / f (y) = f (x) dx, η οποία επιτυγχάνεται με τη λήψη των ολοκληρωμάτων των δύο τμημάτων. Μην ξεχάστε για τη συνεχή που θέλετε να βάλετε μετά την ένταξη.

Το διάλυμα οποιασδήποτε «diffura» - είναι μια συνάρτηση του x από y (στην περίπτωσή μας), ή εάν υπάρχει μια αριθμητική κατάσταση, η απάντηση είναι ένας αριθμός. Ας εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα την όλη πορεία της απόφασης:

y «= 2y * sin (x)

Μεταφορά των μεταβλητών σε διαφορετικές κατευθύνσεις:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Τώρα πάρτε τα ολοκληρώματα. Όλα αυτά μπορούν να βρεθούν σε ειδικό πίνακα ολοκληρωμάτων. Και έχουμε:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Εάν απαιτείται, μπορούμε να εκφράσουμε την «y» ως συνάρτηση του «Χ». Τώρα μπορούμε να πούμε ότι η διαφορική εξίσωση μας έχει λυθεί, εάν δεν ορίζεται κατάσταση. Μπορούν να καθοριστούν προϋπόθεση, για παράδειγμα, y (n / 2) = e. Στη συνέχεια, θα αντικαταστήσει απλώς την αξία αυτών των μεταβλητών στην απόφαση και να βρούμε την τιμή της σταθεράς. Στο παράδειγμά μας, είναι 1.

Ομογενή διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Τώρα σχετικά με τα πιο πολύπλοκα μέρη. Ομογενή διαφορικών εξισώσεων προκειμένου πρώτη μπορεί να γραφτεί σε γενική μορφή ως: y «= z (x, y). Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το δικαίωμα συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ομοιόμορφη, και δεν μπορεί να διαιρεθεί σε δύο, ανάλογα με: z Χ και Ζ του y. Ελέγξτε αν η εξίσωση είναι ομοιογενές ή όχι, είναι αρκετά απλή: κάνουμε ότι στη θέση x = k * x και y = k * y. Τώρα κόβουμε όλα τα k. Εάν αυτά τα γράμματα πέσει, τότε η εξίσωση ομοιογενής και μπορεί να προχωρήσει με ασφάλεια στη λύση του. Κοιτώντας προς το μέλλον, λέμε: η αρχή της λύσης αυτών των παραδειγμάτων είναι επίσης πολύ απλή.

Πρέπει να γίνει η υποκατάσταση: y = t (x) * x, όπου t - μια λειτουργία που εξαρτάται επίσης από x. Στη συνέχεια, μπορούμε να εκφράσουμε το παράγωγο: y '= t' (x) * x + t. Αντικαθιστώντας όλα αυτά στην αρχική εξίσωση μας και την απλούστευση αυτό, έχουμε το παράδειγμα του διαχωρισμού των μεταβλητών t ως x. Λύστε αυτό και να ληφθεί η εξάρτηση του t (x). Όταν το πήραμε, απλά να αντικαταστήσει τα προηγούμενα μας θέση y = t (x) * x. Στη συνέχεια παίρνουμε την εξάρτηση του y επί του x.

Για να καταστεί σαφέστερο, θα καταλάβουμε ένα παράδειγμα: x * y «= yx * e y / x.

Κατά τον έλεγχο της αντικατάστασης όλων των μειώνονται. Έτσι, η εξίσωση είναι πραγματικά ομοιογενές. Τώρα για άλλη θέση, μιλήσαμε για: y = t (x) * x και y '= t' (x) * x + t (x). Μετά απλούστευση η ακόλουθη εξίσωση: t «(x) * x = -e t. Έχουμε αποφασίσει να πάρει ένα δείγμα με ξεχωριστές μεταβλητές και ^{έχουμε: e -t = ln (C *} x). Πρέπει απλώς να αντικαταστήσει t με y / x (γιατί αν y = t * x, τότε t = y / x), και παίρνουμε την ^{απάντηση: e-Υ / x = ln (} x * C).

Γραμμική διαφορική εξίσωση της πρώτης τάξης

Ήρθε η ώρα να εξετάσει μια άλλη ευρύ θέμα. Θα εξετάσουμε ετερογενή διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε τι διαφέρουν από τις δύο προηγούμενες; Ας το παραδεχτούμε. Γραμμική διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης στη γενική μορφή της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως εξής: y «+ g (x) * y = z (x). Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι z (x) και g (x) μπορεί να είναι σταθερές αξίες.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα: y «- y * x = x ^2.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να λυθεί, και να διατάξει Ας εξετάσουμε και τα δύο. Η πρώτη - η μέθοδος μεταβολής των αυθαιρέτων σταθερές.

Για την επίλυση της εξίσωσης με αυτόν τον τρόπο, είναι απαραίτητο να εξισώσει την πρώτη δεξιά πλευρά στο μηδέν, και να λύσει το προκύπτον εξίσωση η οποία μετά γίνεται η μεταφορά των τμημάτων:

y «= y * x?

dy / dx = y * x?

dy / y = xdx?

ln | y | = χ ^2/2 + C?

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Τώρα είναι αναγκαία η αντικατάσταση του σταθερού C ₁ επί της λειτουργίας v (x), το οποίο θα βρούμε.

y = ν * e ^{x2 / 2.}

Σχεδιάστε ένα παράγωγο αντικατάστασης:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * ν * e ^{x2 / 2.}

Και αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην αρχική εξίσωση:

v «* e ^{x2 / 2} - x * ν * e ^{x2 / 2} + x * ν * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Μπορείτε να δείτε ότι στην αριστερή πλευρά των δύο όρων είναι μειωμένη. Αν κάποιοι παράδειγμα που δεν συνέβη, τότε έχετε κάνει κάτι λάθος. Συνεχίζουμε να:

v «* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Τώρα έχουμε λύσει το συνηθισμένο εξίσωση στην οποία θέλετε να διαχωρίσετε τις μεταβλητές:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2?

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Για να αφαιρέσετε το ολοκλήρωμα, θα πρέπει να εφαρμόζουν την ενσωμάτωση από τα μέρη εδώ. Ωστόσο, αυτό δεν είναι το θέμα αυτού του άρθρου. Αν σας ενδιαφέρει, μπορείτε να μάθετε από μόνοι τους να εκτελούν τέτοιες ενέργειες. Δεν είναι δύσκολο, και με αρκετή δεξιοτεχνία και προσοχή ώστε να μην είναι χρονοβόρα.

Αναφερόμενος στην δεύτερη μέθοδο το διάλυμα των ανομοιογενές εξισώσεων: Bernoulli μέθοδος. Ποια προσέγγιση είναι πιο γρήγορη και πιο εύκολη - είναι στο χέρι σας.

Έτσι, κατά την επίλυση αυτή τη μέθοδο, πρέπει να κάνουμε την αντικατάσταση: y = k * n. Εδώ, k και n - ορισμένες λειτουργίες, ανάλογα με το x. Στη συνέχεια, το παράγωγο θα μοιάζουν: y '= k' * n + k * n». Αναπληρωτής δύο υποκαταστάσεις στην εξίσωση:

k '* n + k * n ' + χ * k * n = x ^2.

Ομάδα up:

k '* n + k * ( n' + χ * n) = x ^2.

Τώρα θα πρέπει να ισούται με μηδέν, δηλαδή σε παρένθεση. Τώρα, αν ο συνδυασμός των δύο που προκύπτουν εξισώσεις, παίρνουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που πρέπει να επιλυθούν:

n «+ χ * n = 0?

k «* n = x ^2.

Η πρώτη ισότητα αποφασίσει πώς το συνηθισμένο εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να διαχωρίσετε τις μεταβλητές:

dn / dx = χ * ν?

dn / n = xdx.

Παίρνουμε το ολοκλήρωμα και παίρνουμε: ln (n) = x ^2/2. Στη συνέχεια, αν εκφράζουμε n:

n = e ^{x2 / 2.}

Τώρα υποκαταστήσει την προκύπτουσα εξίσωση στην δεύτερη εξίσωση:

k «* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Και μετατροπή, παίρνουμε την ίδια εξίσωση όπως στην πρώτη μέθοδο:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Επίσης, δεν θα συζητήσουμε περαιτέρω ενέργειες. Λέγεται ότι κατά την πρώτη διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης λύση προκαλεί σημαντικές δυσκολίες. Ωστόσο, μια πιο βαθιά βύθιση στο θέμα έχει αρχίσει να γίνονται όλο και καλύτερα.

Πού είναι οι διαφορικές εξισώσεις;

Πολύ ενεργό διαφορικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στη φυσική, όπως σχεδόν όλοι οι βασικοί νόμοι γραμμένο σε διαφορική μορφή, και αυτές οι φόρμουλες, που βλέπουμε - μια λύση σε αυτές τις εξισώσεις. Στη χημεία, χρησιμοποιούνται για τον ίδιο λόγο: οι βασικοί νόμοι που προέρχεται μέσα από αυτά. Στη βιολογία, οι διαφορικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της συμπεριφοράς των συστημάτων, όπως το αρπακτικό - θήραμα. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία μοντέλων της αναπαραγωγής, για παράδειγμα, οι αποικίες των μικροοργανισμών.

Όπως διαφορικές εξισώσεις βοηθήσει στη ζωή;

Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι απλή: τίποτα. Εάν δεν είστε ένας επιστήμονας ή μηχανικός, είναι απίθανο ότι θα είναι χρήσιμο. Ωστόσο, δεν είναι κακό να γνωρίζουμε ποια είναι η διαφορική εξίσωση και λύνεται για τη συνολική ανάπτυξη. Και τότε το ζήτημα του γιου ή της κόρης, «τι διαφορική εξίσωση;» Δεν σας βάλει σε ένα αδιέξοδο. Λοιπόν, εάν είστε ένας επιστήμονας ή μηχανικός, τότε ξέρετε τη σημασία αυτού του θέματος σε κάθε επιστήμη. Αλλά το πιο σημαντικό, ότι τώρα στο ερώτημα «πώς να λύσει το διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;» θα είστε πάντα σε θέση να δώσει μια απάντηση. Συμφωνώ, είναι πάντα ωραίο όταν συνειδητοποιείς ότι αυτό που οι άνθρωποι φοβούνται ακόμη και να το μάθετε.

Τα κύρια προβλήματα στη μελέτη

Το κύριο πρόβλημα στην κατανόηση αυτού του θέματος είναι μια κακή συνήθεια των λειτουργιών ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης. Αν νιώθετε άβολα ΑΝΑΛΑΜΒΑΝΕΙ παραγώγων και ολοκληρωμάτων, είναι ίσως αξίζει περισσότερο να μάθουν, να μάθουν διαφορετικές μεθόδους ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης, και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσει στη μελέτη του υλικού που έχει περιγραφεί στο άρθρο.

Μερικοί άνθρωποι εκπλήσσονται όταν μαθαίνουν ότι DX μπορεί να μεταφερθεί, όπως και στο παρελθόν (στο σχολείο), υποστήριξε ότι το κλάσμα dy / dx είναι αδιαίρετη. Στη συνέχεια, θα πρέπει να διαβάσετε τη βιβλιογραφία σχετικά με την παράγωγο και να καταλάβουν ότι είναι η στάση των απείρως μικρών ποσοτήτων, η οποία μπορεί να χειριστεί την επίλυση εξισώσεων.

Πολλοί άνθρωποι δεν συνειδητοποιούν αμέσως ότι η λύση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης - αυτό είναι συχνά μια λειτουργία ή neberuschiysya αναπόσπαστο, και αυτή η αυταπάτη τους δίνει πολλά προβλήματα.

Τι άλλο μπορεί να μελετηθούν για να κατανοήσουμε καλύτερα;

Είναι καλύτερα να ξεκινήσετε την περαιτέρω βύθιση στον κόσμο του διαφορικού λογισμού των εξειδικευμένων εγχειριδίων, για παράδειγμα, στη μαθηματική ανάλυση για τους φοιτητές των μη-μαθηματική σπεσιαλιτέ. Στη συνέχεια μπορείτε να μετακινηθείτε στην πιο εξειδικευμένη βιβλιογραφία.

Λέγεται ότι, εκτός από το διαφορικό, εξακολουθούν να υπάρχουν αναπόσπαστο εξισώσεις, έτσι θα έχετε πάντα κάτι να προσπαθούν και τι να σπουδάσουν.

συμπέρασμα

Ελπίζουμε ότι μετά την ανάγνωση αυτού του άρθρου θα έχετε μια ιδέα για το ποιες είναι οι διαφορικές εξισώσεις και πώς να τα λύσετε σωστά.

Σε κάθε περίπτωση, τα μαθηματικά με οποιονδήποτε τρόπο χρήσιμο για μας στη ζωή. Αναπτύσσει τη λογική και την προσοχή, χωρίς την οποία κάθε άνθρωπος, όπως χωρίς χέρια.