Ένα κανονικό πολύγωνο. Ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου

Τρίγωνο, τετράγωνο, εξάγωνο - αυτά τα στοιχεία είναι γνωστά σχεδόν σε όλους. Αλλά όλοι δεν γνωρίζουν τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Αλλά αυτά είναι όλα τα ίδια γεωμετρικά σχήματα. Ένα κανονικό πολύγωνο είναι αυτό που έχει ίσες γωνίες και πλευρές. Υπάρχουν πολλά τέτοια στοιχεία, αλλά όλα έχουν τις ίδιες ιδιότητες και οι ίδιοι τύποι ισχύουν για αυτούς.

Ιδιότητες των κανονικών πολύγωνων

Κάθε κανονικό πολύγωνο, είτε είναι ένα τετράγωνο είτε ένα οκτάγωνο, μπορεί να εγγραφεί σε έναν κύκλο. Αυτή η βασική ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά κατά την κατασκευή ενός σχήματος. Επιπλέον, ο κύκλος μπορεί επίσης να εγγραφεί σε ένα πολύγωνο. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός των σημείων επαφής θα είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών του. Είναι σημαντικό ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο να έχει ένα κοινό κέντρο μαζί του. Αυτές οι γεωμετρικές μορφές υπόκεινται σε ένα θεώρημα. Κάθε πλευρά ενός κανονικού n-gon συνδέεται με την ακτίνα του circumcircle R που περιγράφεται γύρω από αυτό. Επομένως, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: a = 2R ∙ sin180 °. Μέσα από την ακτίνα του κύκλου, μπορείτε να βρείτε όχι μόνο τις πλευρές, αλλά και την περίμετρο του πολυγώνου.

Πώς να βρείτε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου

Οποιοσδήποτε κανονικός n-gon αποτελείται από έναν αριθμό ίσων τμημάτων που ενώνουν μαζί σχηματίζουν μια κλειστή γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι γωνίες του μορφοποιημένου αριθμού έχουν την ίδια τιμή. Τα πολύγωνα χωρίζονται σε απλά και πολύπλοκα. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. Τα σύνθετα πολύγωνα έχουν περισσότερες πλευρές. Περιλαμβάνουν επίσης φιγούρες. Για σύνθετα κανονικά πολύγωνα, οι πλευρές βρίσκονται με την εγγραφή τους σε κύκλο. Δίνουμε μια απόδειξη. Σχεδιάστε ένα κανονικό πολύγωνο με έναν αυθαίρετο αριθμό πλευρών n. Περιγράψτε έναν κύκλο γύρω του. Καθορίστε την ακτίνα R. Τώρα φανταστείτε ότι κάποιος n-gon δίνεται. Εάν τα σημεία των γωνιών της βρίσκονται σε έναν κύκλο και είναι ίσα μεταξύ τους, τότε οι πλευρές μπορούν να βρεθούν με τον τύπο: a = 2R ∙ sinα: 2.

Βρείτε τον αριθμό των πλευρών του εγγεγραμμένου δεξιού τριγώνου

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Οι τύποι για το ίδιο ισχύει και ως προς το τετράγωνο και n-gon. Το τρίγωνο θεωρείται σωστό αν έχει το ίδιο μήκος κατά μήκος της πλευράς. Οι γωνίες είναι ίσες με 60 Pr. Κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο με ένα δεδομένο μήκος πλευρών a. Γνωρίζοντας το διάμεσο και το ύψος του, μπορεί κανείς να βρει τη σημασία των πλευρών του. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο εύρεσης μέσω του τύπου a = x: cosα, όπου το x είναι ο μέσος όρος ή το ύψος. Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, έχουμε a = b = c. Τότε ο ακόλουθος ισχυρισμός θα κρατήσει: a = b = c = x: cosα. Ομοίως, μπορεί κανείς να βρει την αξία των πλευρών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, αλλά το x θα είναι ένα δεδομένο ύψος. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να προβάλλεται αυστηρά στη βάση του αριθμού. Έτσι, γνωρίζοντας το ύψος x, βρίσκουμε την πλευρά a ενός ισοσκελούς τριγώνου με τον τύπο a = b = x: cosa. Αφού βρεθεί η τιμή του a, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της βάσης c. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Πυθαγόρα. Θα αναζητήσουμε την τιμή του ημίσεως της βάσης c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Στη συνέχεια, c = 2xtgα. Με αυτό τον απλό τρόπο μπορούμε να βρούμε τον αριθμό των πλευρών κάθε εγγεγραμμένου πολυγώνου.

Υπολογισμός των πλευρών ενός τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο

Όπως και κάθε άλλο εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο, το τετράγωνο έχει ίσες πλευρές και γωνίες. Οι ίδιοι τύποι ισχύουν και για το τρίγωνο. Υπολογίστε τις πλευρές του τετραγώνου μπορεί να είναι μέσα από την τιμή της διαγώνιο. Ας εξετάσουμε αυτή τη μέθοδο με περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι γνωστό ότι η διαγώνιος διαιρεί τη γωνία στο μισό. Αρχικά, η αξία του ήταν 90 μοίρες. Έτσι, μετά τη διαίρεση, σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα. Οι γωνίες τους στη βάση θα είναι ίσες με 45 μοίρες. Κατά συνέπεια, κάθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση, δηλαδή: a = c = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, όπου e είναι η διαγώνιος του τετραγώνου ή η βάση του δεξιού τριγώνου που σχηματίζεται μετά τη διαίρεση. Αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος να βρεθούν οι πλευρές ενός τετραγώνου. Θα γράψουμε αυτό το σχήμα σε έναν κύκλο. Γνωρίζοντας την ακτίνα αυτού του κύκλου R, βρίσκουμε την πλευρά της πλατείας. Θα το υπολογίσουμε ως εξής: a4 = R√2. Οι ακτίνες των κανονικών πολυγώνων υπολογίζονται με τον τύπο R = a: 2tg (360 ^o: 2n), όπου a είναι το μήκος πλευράς.

Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο ενός n-gon

Η περίμετρος ενός n-gon είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του. Υπολογίστε ότι δεν είναι δύσκολο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τη σημασία όλων των μερών. Για ορισμένους τύπους πολυγώνων, υπάρχουν ειδικοί τύποι. Σας επιτρέπουν να βρείτε την περίμετρο πολύ πιο γρήγορα. Είναι γνωστό ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει ίσες πλευρές. Επομένως, για να υπολογίσετε την περίμετρο της, αρκεί να γνωρίζετε τουλάχιστον ένα από αυτά. Ο τύπος θα εξαρτηθεί από τον αριθμό των πλευρών του σχήματος. Σε γενικές γραμμές, μοιάζει με αυτό: P = an, όπου a είναι η πλευρική τιμή, και n είναι ο αριθμός γωνιών. Για παράδειγμα, για να βρείτε την περίμετρο ενός κανονικού οκταγώνου με πλευρά 3 cm, πολλαπλασιάστε τον κατά 8, δηλαδή P = 3,8 = 24 cm. Για ένα εξάγωνο με πλευρά 5 cm, υπολογίστε: P = 5 · 6 = 30 cm. Από κάθε πολύγωνο.

Βρείτε την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου, ενός τετραγώνου και ενός ρομβοειδούς

Ανάλογα με τον αριθμό πλευρών που έχει ένα κανονικό πολύγωνο, υπολογίστε την περίμετρο του. Αυτό απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό την εργασία. Μετά από όλα, σε αντίθεση με άλλες μορφές, σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να ψάξετε για όλες τις πλευρές του, μόνο μία. Με την ίδια αρχή, βρίσκουμε την περίμετρο των τετραγώνων, δηλαδή την πλατεία και τον ρόμβο. Παρά το γεγονός ότι πρόκειται για διαφορετικούς αριθμούς, η φόρμουλα για αυτούς είναι P = 4a, όπου a είναι η πλευρά. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Εάν η πλευρά του διαμαντιού ή του τετραγώνου είναι 6 cm, τότε θα βρούμε την περίμετρο ως εξής: P = 4 ∙ 6 = 24 εκ. Στο παραλληλόγραμμο, μόνο οι αντίθετες πλευρές είναι ίσες. Επομένως, η περίμετρος της βρίσκεται με διαφορετική μέθοδο. Επομένως, πρέπει να γνωρίζουμε το μήκος του και το πλάτος του σχήματος. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον τύπο P = (a + b) ∙ 2. Ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο όλες οι πλευρές και οι γωνίες είναι ίσες, ονομάζεται ρόμβος.

Βρείτε την περίμετρο ενός ισόπλευρου τριγώνου και ενός ορθού τριγώνου

Η περίμετρος ενός κανονικού ισόπλευρου τριγώνου μπορεί να βρεθεί με τον τύπο P = 3a, όπου a είναι το μήκος πλευράς. Εάν είναι άγνωστο, μπορεί να βρεθεί μέσω του διάμεσου. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μόνο οι δύο πλευρές έχουν ίση αξία. Η βάση μπορεί να βρεθεί μέσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αφού καταστούν γνωστές οι τιμές και των τριών πλευρών, υπολογίστε την περίμετρο. Μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον τύπο P = a + b + c, όπου a και b είναι ίσες πλευρές, και c είναι η βάση. Θυμηθείτε ότι σε ισοσκελές τρίγωνο a = b = a, τότε a + b = 2a, τότε P = 2a + c. Για παράδειγμα, η πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 4 εκατοστά, βρίσκουμε τη βάση και την περίμετρο της. Υπολογίζουμε την τιμή της hypotenuse σύμφωνα με το θεώρημα Pythagorean με c = √a ² + σε ² = √16 + 16 = √32 = 5.65 cm. Τώρα υπολογίστε την περίμετρο P = 2 · 4 + 5.65 = 13.65 cm.

Πώς να βρείτε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου

Ένα κανονικό πολύγωνο συμβαίνει κάθε μέρα στη ζωή μας, για παράδειγμα, ένα συνηθισμένο τετράγωνο, ένα τρίγωνο, ένα οκτάγωνο. Φαίνεται ότι τίποτα δεν είναι ευκολότερο από την οικοδόμηση αυτής της φιγούρας μόνοι σας. Αλλά είναι απλώς με την πρώτη ματιά. Για να κατασκευάσουμε οποιοδήποτε n-gon, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την αξία των γωνιών του. Αλλά πώς να τα βρείτε; Ακόμα και οι αρχαίοι επιστήμονες προσπάθησαν να κατασκευάσουν κανονικά πολύγωνα. Μάντεψαν να τα τοποθετήσουν σε έναν κύκλο. Και έπειτα σημάδεψαν τα απαραίτητα σημεία σε αυτό, συνδέοντάς τα με ευθείες γραμμές. Για απλά στοιχεία, το πρόβλημα κατασκευής επιλύθηκε. Ελήφθησαν τύποι και θεωρήματα. Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης στο διάσημο έργο του "The Beginning" ασχολήθηκε με την επίλυση προβλημάτων για τα 3-, 4-, 5-, 6- και 15-gons. Βρήκε τρόπους να κατασκευάσει και να βρει γωνίες. Σκεφτείτε πώς να το κάνετε αυτό για ένα 15-gon. Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο S = 180⁰ (n-2). Έτσι, μας δίνεται ένας 15-gon, οπότε ο αριθμός n είναι 15. Αντικαθιστάμε τα δεδομένα που γνωρίζουμε στον τύπο και παίρνουμε S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ χ 13 = 2340⁰. Βρήκαμε το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών ενός 15-gon. Τώρα πρέπει να πάρετε την αξία του καθενός από αυτούς. Συνολικές γωνίες 15. Κάντε τον υπολογισμό 2340⁰: 15 = 156⁰. Ως εκ τούτου, κάθε εσωτερική γωνία είναι 156⁰, τώρα με τη βοήθεια κυβερνήτη και πυξίδας μπορείτε να κατασκευάσετε το σωστό 15-gon. Αλλά τι γίνεται με τα πιο σύνθετα n-gons; Για πολλούς αιώνες οι επιστήμονες προσπάθησαν να λύσουν αυτό το πρόβλημα. Βρέθηκε μόνο τον 18ο αιώνα από τον Carl Friedrich Gauss. Ήταν σε θέση να χτίσει 65537-gon. Έκτοτε, το πρόβλημα θεωρείται επίσημα πλήρως επιλυμένο.

Υπολογισμός γωνιών n-gons σε ακτίνια

Φυσικά, υπάρχουν διάφοροι τρόποι να βρεθούν οι γωνίες των πολύγωνων. Τις περισσότερες φορές υπολογίζονται σε μοίρες. Αλλά μπορείτε να τα εκφράσετε σε ακτίνια. Πώς να το κάνετε αυτό; Είναι απαραίτητο να προχωρήσετε ως εξής. Κατ 'αρχάς, υπολογίζουμε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, στη συνέχεια αφαιρούμε το από αυτό. 2. Έτσι, παίρνουμε την τιμή: n - 2. Πολλαπλασιάστε τη διαφορά με n ("pi" = 3.14). Τώρα μένει μόνο να διαιρέσουμε το ληφθέν προϊόν από τον αριθμό των γωνιών στο n-gon. Σκεφτείτε αυτούς τους υπολογισμούς σε ένα παράδειγμα του ίδιου δεκαπεντάγωνου τριγώνου. Έτσι, ο αριθμός n είναι 15. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Αυτό, βεβαίως, δεν είναι ο μόνος τρόπος για τον υπολογισμό της γωνίας σε ακτίνια. Μπορείτε απλά να διαιρέσετε το μέγεθος της γωνίας σε μοίρες με τον αριθμό 57.3. Μετά από όλα, τόσοι πολλοί βαθμοί ισοδυναμούν με ένα ραδόνιο.

Υπολογισμός των γωνιών σε βαθμίδες

Εκτός από τους βαθμούς και τα ακτίνια, μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου στο χαλάζι. Αυτό γίνεται ως εξής. Από τον συνολικό αριθμό γωνιών, αφαιρέστε το 2, διαιρέστε τη διαφορά που προκύπτει από τον αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου. Το αποτέλεσμα πολλαπλασιάζεται με 200. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια μονάδα μέτρησης γωνιών, όπως το χαλάζι, πρακτικά δεν χρησιμοποιείται.

Υπολογισμός εξωτερικών γωνιών n-gons

Για κάθε κανονικό πολύγωνο, εκτός από το εσωτερικό, είναι δυνατό να υπολογιστεί και η εξωτερική γωνία. Η σημασία του βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τα υπόλοιπα στοιχεία. Έτσι, για να βρείτε την εξωτερική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τη σημασία του εσωτερικού πολυγώνου. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα αυτών των δύο γωνιών είναι πάντα 180 μοίρες. Επομένως, οι υπολογισμοί γίνονται ως εξής: 180⁰ μείον την τιμή της εσωτερικής γωνίας. Βρούμε τη διαφορά. Θα είναι ίση με την τιμή της γειτονικής γωνίας. Για παράδειγμα, η εσωτερική γωνία του τετραγώνου είναι 90 μοίρες, τότε η εξωτερική γωνία θα είναι 180⁰-90⁰ = 90⁰. Όπως βλέπουμε, δεν είναι δύσκολο να το βρούμε. Η εξωτερική γωνία μπορεί να πάρει μια τιμή από + 180⁰ έως -180 , αντίστοιχα.