Παράγωγα αριθμούς: τον υπολογισμό μέθοδοι και παραδείγματα

Ίσως η έννοια της παραγώγου είναι οικεία σε όλους μας από το γυμνάσιο. Συνήθως οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν αυτό είναι αναμφισβήτητα ένα πολύ σημαντικό πράγμα. Χρησιμοποιείται ενεργά σε διάφορους τομείς της ζωής των ανθρώπων, και πολλοί μηχανικής βασίστηκαν ακριβώς σε μαθηματικούς υπολογισμούς που λαμβάνεται από το παράγωγο. Αλλά πριν προχωρήσουμε σε μια ανάλυση του τι είναι ένα παράγωγο των αριθμών, όπως υπολογίζουν και πού θα έρθει σε πρακτικό, ψάχνω λίγο στην ιστορία.

ιστορία

Η έννοια της παραγώγου, η οποία αποτελεί τη βάση της μαθηματικής ανάλυσης, ήταν ανοιχτή (ακόμα καλύτερα να πω «εφηύρε» επειδή είναι, ως εκ τούτου, δεν υπάρχει στη φύση) Isaakom Nyutonom, που όλοι γνωρίζουμε από την ανακάλυψη του νόμου της βαρύτητας. Ήταν αυτός που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά αυτή την έννοια της φυσικής για τον δεσμευτικό χαρακτήρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης των φορέων. Και πολλοί επιστήμονες εξακολουθούν να επαινέσω Newton για αυτό το υπέροχο εφεύρεση, επειδή στην πραγματικότητα εφηύρε τη βάση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, την πραγματική βάση του όλου τομέα των μαθηματικών που ονομάζεται «μαθηματική ανάλυση». Είτε κατά το χρόνο το βραβείο Νόμπελ, Newton πιθανόν θα έχετε λάβει αυτό μερικές φορές.

Όχι χωρίς άλλα μεγάλα μυαλά. Εκτός από Newton σχετικά με την ανάπτυξη των παραγώγου και αναπόσπαστο εργάστηκε τέτοια επιφανείς ιδιοφυΐες των μαθηματικών ως Leonhard Euler, Lagrange και Louis Gotfrid Leybnits. Χάρη σε αυτούς έχουμε τη θεωρία του διαφορικού λογισμού , με τη μορφή με την οποία υπάρχει μέχρι σήμερα. Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι Leibniz ανακάλυψαν την γεωμετρική έννοια του παραγώγου, το οποίο δεν ήταν τίποτα περισσότερο από την κλίση της εφαπτομένης στην γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Τι είναι ένα παράγωγο των αριθμών; Λίγο επαναλάβω αυτό που συνέβη στο σχολείο.

Τι είναι ένα παράγωγο;

Ορίστε αυτήν την έννοια με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Η απλούστερη εξήγηση: Παράγωγα - είναι ο ρυθμός της λειτουργίας αλλαγής. Αντιπροσωπεύουν τη γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης y του x. Αν δεν είναι ευθεία, έχει κάποιες καμπύλες στο γράφημα, τις περιόδους αύξησης και μείωσης. Εάν πάρετε οποιαδήποτε απειροελάχιστη διάστημα του προγράμματος, θα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα. Έτσι, ο λόγος του μεγέθους της ένα απειροελάχιστο τμήμα του y με το μέγεθος της συντεταγμένης χ, και θα είναι ένα παράγωγο της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ως σύνολο, και όχι σε ένα συγκεκριμένο σημείο, παίρνουμε μια λειτουργία του παραγώγου, δηλαδή μια ορισμένη εξάρτηση από την X y.

Επιπλέον, εκτός από την φυσική έννοια του παραγώγου σαν συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής, υπάρχει επίσης μια γεωμετρική έννοια. Σε αυτό, θα συζητήσουμε τώρα.

Η γεωμετρική έννοια

ίδιων των παραγώγων αριθμοί είναι ορισμένα που δεν είναι σωστή κατανόηση δεν φέρει καμία έννοια. Αποδεικνύεται ότι το παράγωγο δείχνει όχι μόνο το ρυθμό ανάπτυξης ή να μειώσει τη λειτουργία, και την κλίση της εφαπτομένης στην γραφική παράσταση της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο. Δεν είναι απολύτως σαφής ορισμός. Ας το εξετάσουμε λεπτομερώς. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης (για να λάβει την καμπύλη επιτοκίων). Έχει έναν άπειρο αριθμό σημείων, αλλά υπάρχουν περιοχές όπου μόνο ένα σημείο έχει ένα μέγιστο ή ελάχιστο. Μέσα από κάθε τέτοιο σημείο, μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή, η οποία θα είναι κάθετη προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο. Αυτή η γραμμή θα ονομάζεται εφαπτομένη. Ας υποθέσουμε ότι κατείχε μέχρι τη διασταύρωση με το ΟΧ άξονα. Έτσι επιτυγχάνεται μεταξύ της εφαπτομένης και του άξονα OX και η γωνία θα καθορίζεται από το παράγωγο. Πιο συγκεκριμένα, η εφαπτομένη της γωνίας θα είναι ίσο με αυτό.

Ας μιλήσουμε λίγο για τις συγκεκριμένες περιπτώσεις και τα παράγωγα Ας δούμε τους αριθμούς.

Ειδικές περιπτώσεις

Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, τα παράγωγα των αριθμών - ένα παράγωγο αξία σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Εδώ, για παράδειγμα, να λάβει τη συνάρτηση y = x ^2. Το παράγωγο του x - αριθμούς, αλλά σε γενικές γραμμές - μια συνάρτηση ίση με 2 * x. Αν πρέπει να υπολογίσουμε το παράγωγο, για παράδειγμα, στο σημείο x ₀ = 1, παίρνουμε y «(1) = 2 * 1 = 2. Είναι πολύ απλό. Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι το παράγωγο του μιγαδικού αριθμού. Για να μεταβείτε σε μια λεπτομερή εξήγηση για το τι ένα σύνθετο αριθμό, δεν θα το κάνει. Αρκεί να πούμε ότι αυτός ο αριθμός, που περιέχει τη λεγόμενη φανταστική μονάδα - ο αριθμός των οποίων τετράγωνο ισούται με -1. Ο υπολογισμός της παραγώγου αυτού είναι δυνατή μόνο υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) Πρέπει να υπάρχει πρώτης τάξης μερικές παράγωγοι των πραγματικών και φανταστικών τμημάτων του y και X.

2) οι όροι του Cauchy-Riemann σχετίζεται με την ισότητα μερική περιγράφεται στην πρώτη παράγραφο.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα περίπτωση, αν και δεν είναι τόσο περίπλοκο όπως το προηγούμενο, είναι ένα παράγωγο ενός αρνητικού αριθμού. Στην πραγματικότητα, οποιαδήποτε αρνητικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν ως θετική, πολλαπλασιαζόμενο με -1. Λοιπόν, το παράγωγο και η συνεχής λειτουργία ίση με ένα σταθερό πολλαπλασιάζεται με το παράγωγο της συνάρτησης.

Θα είναι ενδιαφέρον να μάθουν για τον ρόλο των παραγώγων στην καθημερινή τους ζωή, και αυτό είναι τώρα και να το συζητήσουν.

εφαρμογή

Μάλλον ο καθένας από εμάς, τουλάχιστον μια φορά στη ζωή πιάνω τον εαυτό μου να σκεφτόμαστε ότι τα μαθηματικά είναι απίθανο να είναι χρήσιμη για τον ίδιο. Και ένα τέτοιο πολύπλοκο πράγμα όπως το παράγωγο έχει πιθανώς καμία χρήση. Στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά - θεμελιώδη επιστήμη, και όλα τα φρούτα της, αναπτύσσεται κυρίως φυσικής, χημείας, αστρονομίας, ακόμα και την οικονομία. Παράγωγα σηματοδότησε την αρχή της μαθηματικής ανάλυσης, η οποία μας έδωσε τη δυνατότητα να εξαχθούν συμπεράσματα από τις γραφικές παραστάσεις των λειτουργιών, και έχουμε μάθει να ερμηνεύει τους νόμους της φύσης και να τις μετατρέψουν προς όφελός τους εξαιτίας της.

συμπέρασμα

Φυσικά, δεν μπορούν όλοι να είναι χρήσιμη για την παράγωγο στην πραγματική ζωή. Αλλά μαθηματικά αναπτύσσει τη λογική που θα πρέπει σίγουρα. Όχι για τίποτα, επειδή τα μαθηματικά ονομάζεται η βασίλισσα των επιστημών: αυτό αποτελείται από μια βασική κατανόηση των άλλων τομέων της γνώσης.